【等差数列前n项和公式是什么】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差为一个常数。在实际应用中，我们经常需要计算等差数列前n项的和，这就需要用到等差数列前n项和的公式。
等差数列前n项和的公式是：
$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前n项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ a_n $ 是第n项；
- $ n $ 是项数。
此外，由于第n项 $ a_n $ 可以表示为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中 $ d $ 是公差，因此也可以将公式改写为：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
这个公式在实际问题中非常实用，尤其在求解数列总和、平均值、或者进行统计分析时经常用到。
等差数列前n项和公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 基本公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 利用首项和末项计算 |
| 通项公式变形 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 利用首项和公差计算 |
| 适用条件 | 数列为等差数列 | 必须满足公差相等 |
实例解析
假设有一个等差数列：3, 7, 11, 15, 19
- 首项 $ a_1 = 3 $
- 公差 $ d = 4 $
- 项数 $ n = 5 $
根据公式计算前5项和：
$$
S_5 = \frac{5}{2}[2 \times 3 + (5 - 1) \times 4] = \frac{5}{2} [6 + 16] = \frac{5}{2} \times 22 = 55
$$
验证：3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55，结果一致。
通过以上内容可以看出，掌握等差数列前n项和的公式对于解决实际问题具有重要意义。无论是学习数学还是应用到工程、经济等领域，这一公式都是基础而关键的知识点。