【等比数列的前n项和公式是什么】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。了解等比数列的前n项和公式，有助于我们快速计算一系列等比数列的总和。
等比数列的前n项和公式根据公比的不同，可以分为两种情况：当公比不等于1时，使用一个公式；当公比等于1时，使用另一个公式。以下是对这两种情况的详细总结。
一、等比数列的基本概念
- 首项（a）：数列的第一个数。
- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_2}{a_1} $。
- 第n项（a_n）：$ a_n = a \cdot r^{n-1} $。
二、等比数列的前n项和公式
| 公比（r） | 公式 | 说明 |
| $ r \neq 1 $ | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | 当公比不为1时，使用此公式计算前n项和 |
| $ r = 1 $ | $ S_n = a \cdot n $ | 当公比为1时，所有项都相等，直接乘以项数即可 |
三、公式推导简要说明
当 $ r \neq 1 $ 时，设等比数列的前n项和为：
$$
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}
$$
两边同时乘以公比 $ r $，得到：
$$
rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n
$$
将两式相减：
$$
S_n - rS_n = a - ar^n
$$
$$
S_n(1 - r) = a(1 - r^n)
$$
因此：
$$
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
如果 $ r > 1 $，也可以写成：
$$
S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
当 $ r = 1 $ 时，所有项都是 $ a $，所以前n项和为：
$$
S_n = a + a + \cdots + a = a \cdot n
$$
四、实例应用
例1：求等比数列 $ 2, 6, 18, 54, 162 $ 的前5项和。
- 首项 $ a = 2 $
- 公比 $ r = 3 $
- 项数 $ n = 5 $
代入公式：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
例2：若公比为1，首项为5，求前10项和。
$$
S_{10} = 5 \cdot 10 = 50
$$
五、总结
等比数列的前n项和公式是数学中非常实用的知识点，掌握它能够帮助我们快速解决实际问题。根据公比是否为1，选择合适的公式进行计算是关键。通过表格形式的对比，可以更清晰地理解不同情况下的应用方式。