【不动点法求数列通项原理】在数列求解中，不动点法是一种重要的方法，尤其适用于递推关系较为复杂的数列。通过寻找“不动点”，可以将非线性或复杂递推式转化为更易处理的形式，从而求出通项公式。
一、不动点法的基本原理
不动点法的核心思想是：对于一个递推关系
$$ a_{n+1} = f(a_n) $$
如果存在某个常数 $ x_0 $，使得
$$ f(x_0) = x_0 $$
则称 $ x_0 $ 为函数 $ f $ 的一个不动点。
利用不动点，可以构造一个新的序列 $ b_n = a_n - x_0 $，将原递推式转化为关于 $ b_n $ 的形式，从而简化计算。
二、不动点法的适用条件
| 条件 | 说明 |
| 函数 $ f(x) $ 是连续的 | 保证不动点的存在性 |
| 存在不动点 $ x_0 $ | 是应用此方法的前提 |
| 递推式为线性或可转换为线性形式 | 更便于求解通项 |
三、不动点法的应用步骤
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 找到不动点 $ x_0 $ | 解方程 $ f(x) = x $ |
| 2 | 构造新序列 $ b_n = a_n - x_0 $ | 将原递推式转换为关于 $ b_n $ 的形式 |
| 3 | 求解 $ b_n $ 的通项 | 通常为等比数列或等差数列 |
| 4 | 回代求 $ a_n $ | 即 $ a_n = b_n + x_0 $ |
四、实例分析
假设数列满足递推关系：
$$ a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1 $$
第一步：找不动点
令 $ x = \frac{1}{2}x + 1 $
解得：$ x = 2 $
第二步：构造新序列
设 $ b_n = a_n - 2 $，则有：
$$ a_n = b_n + 2 $$
代入原式：
$$ b_{n+1} + 2 = \frac{1}{2}(b_n + 2) + 1 $$
化简得：
$$ b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n $$
第三步：求 $ b_n $ 的通项
这是一个等比数列，公比为 $ \frac{1}{2} $，所以：
$$ b_n = b_1 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} $$
第四步：回代求 $ a_n $
$$ a_n = b_n + 2 = b_1 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} + 2 $$
五、总结
| 内容 | 说明 |
| 不动点法 | 用于求解递推数列通项的一种方法 |
| 关键步骤 | 寻找不动点 → 构造新序列 → 求解新序列通项 → 回代 |
| 应用范围 | 适用于线性或可线性化的递推关系 |
| 优势 | 简化计算过程，提高求解效率 |
通过掌握不动点法的原理与应用，可以更高效地解决许多数列问题，尤其是在处理非线性递推时具有显著优势。