【3阶无穷小是高阶低阶同阶】在高等数学中，无穷小量的比较是一个重要的内容。通过比较两个无穷小量的趋近速度，可以判断它们之间的关系：高阶、低阶或同阶。其中，“3阶无穷小”是一个常见的概念，它指的是当自变量趋于某个值时，该函数比基本无穷小（如x）更快趋近于0的无穷小量。
一、无穷小量的基本概念
无穷小量是指当自变量趋于某一点时，函数值无限趋近于零的量。例如，当 $ x \to 0 $ 时，$ x^2 $、$ \sin x $、$ e^x - 1 $ 等都是无穷小量。
二、无穷小的阶数与比较方法
为了比较两个无穷小量的“大小”，我们通常使用极限法：
设 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是 $ x \to x_0 $ 时的无穷小量，若
$$
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0,
$$
则称 $ f(x) $ 是比 $ g(x) $ 高阶的无穷小，记作 $ f(x) = o(g(x)) $。
若
$$
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = C \neq 0,
$$
则称 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 是 同阶无穷小。
若
$$
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1,
$$
则称 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 是 等价无穷小。
三、什么是“3阶无穷小”？
如果一个无穷小量 $ f(x) $ 满足
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^3} = C \neq 0,
$$
那么 $ f(x) $ 被称为 3阶无穷小，即它比 $ x $、$ x^2 $ 更快趋近于0，但比 $ x^4 $ 慢。
四、3阶无穷小与其他无穷小的关系总结
| 无穷小类型 | 与3阶无穷小的关系 | 说明 |
| 1阶无穷小 | 低阶 | 如 $ x $，比3阶无穷小慢 |
| 2阶无穷小 | 低阶 | 如 $ x^2 $，比3阶无穷小慢 |
| 3阶无穷小 | 同阶 | 与自身同阶 |
| 4阶无穷小 | 高阶 | 如 $ x^4 $，比3阶无穷小快 |
| 5阶及以上无穷小 | 高阶 | 比3阶无穷小快 |
五、实例分析
- $ x^3 $ 是3阶无穷小；
- $ x^4 $ 是4阶无穷小，比 $ x^3 $ 高阶；
- $ x^2 $ 是2阶无穷小，比 $ x^3 $ 低阶；
- $ \sin x $ 在 $ x \to 0 $ 时是1阶无穷小；
- $ \tan x $ 也是1阶无穷小；
- $ \ln(1+x) $ 在 $ x \to 0 $ 时是1阶无穷小；
- $ 1 - \cos x $ 是2阶无穷小；
- $ e^x - 1 $ 是1阶无穷小；
- $ x - \sin x $ 是3阶无穷小。
六、总结
“3阶无穷小”是相对于其他阶数无穷小而言的一个概念，表示其趋近于0的速度介于2阶和4阶之间。通过比较不同阶数的无穷小量，我们可以更准确地描述函数的变化趋势，这在泰勒展开、极限计算和微分近似中具有重要作用。
表格总结：
| 无穷小阶数 | 与3阶无穷小的关系 | 举例 |
| 1阶 | 低阶 | $ x $, $ \sin x $ |
| 2阶 | 低阶 | $ x^2 $, $ 1 - \cos x $ |
| 3阶 | 同阶 | $ x^3 $, $ x - \sin x $ |
| 4阶 | 高阶 | $ x^4 $, $ x^4 + x^3 $ |
| 5阶及以上 | 高阶 | $ x^5 $, $ x^6 $ |