【泰勒级数展开公式】泰勒级数是数学中一种重要的近似方法，用于将一个光滑函数在某一点附近用无限多项式来表示。它在微积分、物理、工程等领域有着广泛的应用。通过泰勒级数，可以将复杂的函数转化为易于计算的多项式形式，从而便于分析和数值计算。
以下是对常见函数的泰勒级数展开公式的总结，以表格形式呈现：
| 函数 | 泰勒级数展开（在 x=0 处，即麦克劳林级数） | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $ | $ (-1, 1] $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ | $ [-1, 1] $ | ||
| $ (1+x)^k $（k 为任意实数） | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
这些展开式在实际应用中非常有用。例如，在物理中，当研究振动或波动时，常常会用到正弦和余弦的泰勒展开；在计算机科学中，计算器和编程语言中的数学函数通常基于泰勒级数进行近似计算。
需要注意的是，泰勒级数的收敛性取决于具体的函数和展开点。有些函数在某些点处的泰勒级数可能只在有限区间内有效，而有些则在整个实数范围内都成立。
总之，泰勒级数是连接函数与多项式的重要桥梁，掌握其基本原理和常见展开形式对于深入理解数学分析和实际问题求解具有重要意义。