【平方和公式】在数学中，平方和公式是一个重要的基础知识，广泛应用于数列、几何、统计等多个领域。它用于计算一组数的平方之和，常用于求解等差数列或等比数列的平方和问题。
以下是对常见平方和公式的总结与展示：
一、自然数平方和公式
对于前 $ n $ 个自然数的平方和，公式为：
$$
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
该公式适用于连续整数的平方求和。
二、等差数列平方和公式
若一个等差数列的首项为 $ a $，公差为 $ d $，共有 $ n $ 项，则其平方和可表示为：
$$
\sum_{k=0}^{n-1} (a + kd)^2
$$
此公式较为复杂，通常需要展开后利用自然数平方和公式进行计算。
三、常用数值示例（自然数平方和）
| n | 平方和 $ 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 $ |
| 1 | 1 |
| 2 | 5 |
| 3 | 14 |
| 4 | 30 |
| 5 | 55 |
| 6 | 91 |
| 7 | 140 |
| 8 | 204 |
| 9 | 285 |
| 10 | 385 |
四、应用举例
例如，计算前 10 个自然数的平方和：
$$
\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385
$$
这与表格中的结果一致。
五、小结
平方和公式是数学中非常实用的工具，尤其在处理数列、概率、统计等问题时经常用到。掌握基本的自然数平方和公式，有助于提高解题效率，并为进一步学习更复杂的数学内容打下基础。
通过表格形式可以直观地看到不同自然数对应的平方和值，便于记忆和应用。