【一元二次不等式】一元二次不等式是初中和高中数学中的重要内容，通常形式为 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $（其中 $ a \neq 0 $）。它与一元二次方程密切相关，但解法有所不同。本文将对一元二次不等式的解法进行总结，并通过表格形式展示关键知识点。
一、一元二次不等式的定义
一元二次不等式是指只含有一个未知数（即“一元”），且未知数的最高次数为2（即“二次”）的不等式。其标准形式为：
- $ ax^2 + bx + c > 0 $
- $ ax^2 + bx + c < 0 $
- $ ax^2 + bx + c \geq 0 $
- $ ax^2 + bx + c \leq 0 $
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数，且 $ a \neq 0 $。
二、解一元二次不等式的基本步骤
1. 整理不等式：将不等式化为标准形式。
2. 求根：解对应的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，得到两个实根或一个实根或无实根。
3. 画图分析：根据抛物线开口方向（由 $ a $ 的正负决定）和根的位置，判断不等式的解集。
4. 写出解集：根据图像或符号法则确定不等式的解区间。
三、一元二次不等式的解法分类
| 情况 | 判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $ | 根的情况 | 不等式解集示例 | 解集表示 |
| 1 | $ \Delta > 0 $ | 两个不同实根 $ x_1 < x_2 $ | $ ax^2 + bx + c > 0 $ | $ (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) $ |
| 2 | $ \Delta = 0 $ | 一个实根 $ x_1 $ | $ ax^2 + bx + c > 0 $ | $ (-\infty, x_1) \cup (x_1, +\infty) $ |
| 3 | $ \Delta < 0 $ | 无实根 | $ ax^2 + bx + c > 0 $ | 全体实数（若 $ a > 0 $）或无解（若 $ a < 0 $） |
> 注意：当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上；当 $ a < 0 $ 时，开口向下。
四、常见题型与解法对比
| 题型 | 示例 | 解法 |
| 1. $ x^2 - 5x + 6 > 0 $ | 分解因式：$ (x - 2)(x - 3) > 0 $ | 数轴标根法，取两边区间 |
| 2. $ -2x^2 + 4x - 2 \leq 0 $ | 化简为 $ x^2 - 2x + 1 \geq 0 $ | 分解因式：$ (x - 1)^2 \geq 0 $，解集为全体实数 |
| 3. $ x^2 + 2x + 3 < 0 $ | 判别式 $ \Delta = -8 < 0 $，无实根 | 因为 $ a > 0 $，无解 |
五、注意事项
- 解不等式时要注意符号变化，尤其是乘以负数时要改变不等号方向。
- 若不等式中含有等号（如 $ \geq $ 或 $ \leq $），则解集中应包含对应的根。
- 对于含参数的不等式，需分情况讨论，特别是判别式和系数的正负。
总结
一元二次不等式的解法主要依赖于一元二次方程的求根以及抛物线的图像特征。掌握好判别式、根的分布和开口方向，能够快速准确地找到不等式的解集。在实际应用中，可以通过数轴标根法、图像法或代数分析法来解决相关问题。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 含有一个未知数，次数为2的不等式 |
| 解法步骤 | 整理、求根、分析图像、写解集 |
| 判别式作用 | 判断根的个数及是否存在实数解 |
| 注意事项 | 符号变化、等号处理、参数影响 |
通过以上内容，可以系统地理解并掌握一元二次不等式的相关知识，提高解题效率与准确性。