【等比数列公式】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值恒定。这个恒定的比值称为“公比”。掌握等比数列的相关公式，有助于我们快速求解数列中的各项、前n项和等问题。
以下是对等比数列主要公式的总结，便于理解和应用：
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 等比数列 | 从第二项起，每一项与前一项的比为常数的数列 |
| 公比（r） | 数列中相邻两项的比值，记作 r = aₙ / aₙ₋₁ |
| 首项（a₁） | 数列的第一个项，通常用 a 表示 |
| 第n项（aₙ） | 数列中的第n个项 |
二、等比数列公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第n项公式 | aₙ = a₁ × r^(n-1) | 已知首项 a₁ 和公比 r，可求任意项 | ||
| 前n项和公式 | Sₙ = a₁ × (1 - rⁿ) / (1 - r) （r ≠ 1） | 当公比不等于1时使用 | ||
| 当 r = 1 时 | Sₙ = a₁ × n | 所有项相等，和为项数乘以首项 | ||
| 无穷等比数列和 | S = a₁ / (1 - r) （ | r | < 1） | 当公比绝对值小于1时，数列收敛到一个有限值 |
三、应用举例
例1：已知首项 a₁ = 3，公比 r = 2，求第5项
根据公式：
$$
a₅ = 3 × 2^{5-1} = 3 × 16 = 48
$$
例2：求前5项和，a₁ = 2，r = 3
$$
S₅ = 2 × \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 × \frac{1 - 243}{-2} = 2 × 121 = 242
$$
例3：求公比 r = 1/2，首项 a₁ = 4 的无限和
$$
S = \frac{4}{1 - 1/2} = \frac{4}{1/2} = 8
$$
四、注意事项
- 若公比 r = 1，则数列为常数列，所有项都相同；
- 若公比 r ≤ -1 或 r ≥ 1，则无穷级数发散，无有限和；
- 在实际问题中，如复利计算、人口增长等，等比数列有广泛应用。
通过上述总结，可以清晰地了解等比数列的基本公式及其应用场景，帮助我们在学习和实践中更高效地运用这些知识。