【什么是正项级数】在数学中，级数是一个重要的概念，尤其在微积分和分析学中广泛应用。正项级数是级数的一种特殊类型，指的是其所有项均为非负数的级数。理解正项级数的性质和判别方法，对于掌握级数收敛性问题具有重要意义。
一、正项级数的基本定义
正项级数是指每一项都是非负实数的无穷级数，即形如：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
$$
其中 $ a_n \geq 0 $ 对所有 $ n \in \mathbb{N} $ 成立。
由于每一项都是非负的，因此部分和序列 $ S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n $ 是单调递增的。根据单调有界定理，如果这个部分和序列有上界，则级数收敛；否则发散。
二、正项级数的判别方法
为了判断一个正项级数是否收敛，通常可以使用以下几种常用的方法：
| 判别方法 | 适用条件 | 说明 |
| 比较判别法 | 已知一个已知收敛或发散的正项级数 | 若 $ a_n \leq b_n $ 且 $ \sum b_n $ 收敛，则 $ \sum a_n $ 收敛；反之若 $ a_n \geq b_n $ 且 $ \sum b_n $ 发散，则 $ \sum a_n $ 发散 |
| 比值判别法 | 适用于含有阶乘或幂次的项 | 计算极限 $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} $，若小于1则收敛，大于1则发散，等于1时无法判断 |
| 根值判别法 | 适用于含有 $ n $ 次幂的项 | 计算极限 $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} $，若小于1则收敛，大于1则发散，等于1时无法判断 |
| 积分判别法 | 当 $ f(n) = a_n $ 为连续、正、递减函数时 | 若 $ \int_1^{\infty} f(x) dx $ 收敛，则 $ \sum a_n $ 收敛；否则发散 |
| 极限比较判别法 | 与已知级数比较时使用 | 若 $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c > 0 $，则 $ \sum a_n $ 与 $ \sum b_n $ 同敛散 |
三、常见正项级数的例子
| 级数 | 表达式 | 是否收敛 | 说明 | ||
| 等比级数 | $ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n $ | 当 $ | r | < 1 $ 时收敛 | 公比小于1时收敛，否则发散 |
| 调和级数 | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $ | 发散 | 部分和增长近似于对数函数 | ||
| p-级数 | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} $ | 当 $ p > 1 $ 时收敛 | 当 $ p \leq 1 $ 时发散 | ||
| 交错级数（非正项） | $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $ | 不属于正项级数 | 但可使用莱布尼茨判别法判断收敛性 |
四、总结
正项级数是研究无穷级数收敛性的重要工具，因其各项均为非负，使得部分和单调递增，从而更容易进行分析。通过比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等方法，可以有效地判断其收敛性。了解这些方法不仅有助于解决数学问题，也对后续学习傅里叶级数、泰勒展开等内容打下坚实基础。